Kulové zrcadlo je vytvořeno na povrchu části kulové plochy. 1. duté zrcadlo - zrcadlící plocha je na vnitřní straně vrchlíku (viz obr. 2. vypuklé zrcadlo - zrcadlící plocha je na vnější straně vrchlíku (viz obr. Obr. Přímka procházející středem křivosti C a vrcholem V zrcadla se nazývá optická osa o zrcadla. V dalších úvahách se omezíme pouze na paprsky, které se nacházejí v blízkosti optické osy, v tzv. Paraxiální prostor je takový prostor symetricky rozložený kolem optické osy zrcadla (resp. čočky), v němž je zobrazení kolineární. Paraxiální prostor lze také definovat tak, že je to prostor, v němž paprsky dopadají na zrcadlo pod malými úhly. Tyto paprsky nejsou významné tím, že by pro ně neplatily fyzikální zákony. Paprsky se chovají podle zákona odrazu.
1. Paprsek procházející středem křivosti zrcadla má po odrazu od zrcadla opačný směr než měl před odrazem; tj. Tato vlastnost paprsku je dána tím, že tento paprsek dopadá na zrcadlo kolmo - dopadá totiž ve směru poloměru křivosti zrcadla. 2. 3. Pro konstrukci obrazu postačují dva význačné paprsky. Bod F (z 2. a 3. význačného paprsku) se nazývá ohnisko kulového zrcadla. U zrcadla dutého se paprsky v ohnisku skutečně protínají - bod F představuje tedy skutečné ohnisko. Princip zobrazení kulovými zrcadly je znázorněn na obr. 102 pro duté zrcadlo a na obr. 103 pro vypuklé zrcadlo. Vzdálenost předmětu od vrcholu zrcadla se nazývá předmětová vzdálenost. Optické zobrazení charakterizuje veličina zvaná měřítko optického zobrazení (příčné zvětšení) Z. Je definována poměrem výšky obrazu a výšky předmětu y: . 1. 2. 3.
Kromě příčného zvětšení se zavádí i osové (podélné) zvětšení, což je poměr délek úseček ležících na optické ose. Vlastnosti obrazu předmětu při zobrazení dutým zrcadlem závisí na poloze předmětu na optické ose (viz tab. 1). Vlastnosti obrazu v závislosti na poloze předmětu není nutné znát z paměti. Vždy je dobré si zadanou situaci načrtnout pomocí dvou (resp. Zobrazení v geometrii je předpis, který určuje jednotlivým bodům (vzorům) jejich obrazy. Například v osové souměrnosti se body zobrazí vždy na kolmici k ose ve stejné vzdálenosti. Zobrazení v optice můžeme chápat jako fyzickou realizaci matematického zobrazení pomocí světla. Při optickém zobrazení se mění chod paprsků tak, že vzniká obraz předmětu v jiném místě prostoru. Pojďme se podívat, jak může takové zobrazení vypadat v praxi. Použijeme k tomu dva bodové zdroje A a B a projekční plochu (stínítko). Tou může být bílý papír, fotografický film, snímač digitálního foťáku nebo sítnice v našem oku. Na obrázku 23.31 část a) vidíme, co se stane, když zdroje umístíme před projekční plochu a necháme paprsky šířit volně prostorem. Na obrázku 23.31 část b) vidíme nejjednodušší způsob, jak vytvořit optické zobrazení. Nazývá se dírková komora neboli camera obscura. Před projekční plochu umístíme miniaturní otvor, který odstíní téměř všechny paprsky. Ty, které projdou, vytvoří obrazy bodů na ploše. Tento jednoduchý princip zobrazování byl historickým předchůdcem fotoaparátu. Problém dírkové komory je ten, že otvor musí být velmi malý, aby nedošlo k podstatnému rozmazání obrazu. Díky tomu proniká dovnitř jen minimální množství světla. Pořádné zobrazovací zařízení proto musí měnit směr chodu paprsků, jak vidíme na obrázku 23.31 část c). Dírku nahradíme skleněnou čočkou ve správné vzdálenosti od projekční plochy. Čočka láme paprsky právě tak, aby se paprsky vycházející z jednoho bodu protly opět v jednom bodě. Říkáme, že v bodě A′ vzniká skutečný obraz bodu A. S obrazem vytvořeným malou dírkou se lze setkat v přírodě i v běžném životě a lidé v různých koutech světa ho pozorovali již od pradávna. Například Aristoteles se ve svém díle zamýšlel nad problémem, proč sluneční světlo procházející malým čtyřúhelníkovým otvorem, vytváří kruhový obraz Slunce. Uspokojivou odpověď ale neznal, protože principy geometrické optiky tehdy nebyly známy. Také arabský fyzik a matematik Alhazen v 10. století popisuje převrácený obraz vytvořený malou dírkou. První podrobnější popis dírkové komory najdeme v rukopise Leonarda da Vinciho z konce 15. století. V průběhu 16. století byla camera obscura malou místností, kde se obraz promítal na stěnu otvorem v protilehlé stěně. Byla využívána k pozorování zatmění slunce a ke zkoumání zákonů zobrazování. Později se z ní stal přenosný přístroj a nakonec byla dírka nahrazena spojnou čočkou. Tyto zobrazovací přístroje se používaly jako malířská pomůcka a začátkem 19. století.
Přestože technicky je již dírková komora překonaná, stále se najdou umělci a nadšenci, kteří pomocí dírkové komory pořizují fotografie. Vyrobit jednoduchou dírkovou komoru je snadné. Do jedné stěny uzavíratelné krabičky z neprůsvitného materiálu se udělá otvor, na který se umístí kousek slabého plíšku s nepatrnou dírkou. Zvenku se otvor přelepí proužkem černé lepenky. Ta poslouží jako spoušť. Na protější stěnu se ve tmě připevní film nebo fotopapír a fotoaparát je připraven k práci.
V optice se setkáváme ještě s trochu záhadným pojmem „neskutečný obraz“. K jeho objasnění použijeme obyčejné rovinné zrcadlo. Na obrázku 23.34 vidíte paprsky, jak se odrážejí od zrcadla podle zákona odrazu a některé z nich dopadají do oka pozorovatele. Přestože se bod A nachází před zrcadlem (vlevo), pozorovatel vidí jeho obraz A′ za zrcadlem vpravo. Proč tomu tak je? Oko nemá žádnou informaci o celkovém chodu paprsků prostorem. Určuje polohu předmětu pouze na základě směru, ze kterého přicházejí paprsky. V našem případě oko zaznamená rozbíhavé paprsky, jako by vycházely z bodu A′. Říkáme, že pozorovatel vidí v bodě A′ neskutečný obraz bodu A. Neskutečný obraz bodu je tedy zdánlivý zdroj rozbíhavých paprsků. Z geometrické konstrukce na obrázku vyplývá, že rovinné zrcadlo vytváří rozbíhavý svazek světla a proto za zrcadlem pozorujeme neskutečný obraz předmětů. Obrazy bodů při zobrazení rovinným zrcadlem nemusíme složitě rekonstruovat, jako na obrázku výše. Stačí si uvědomit, že můžeme použít osovou souměrnost. Na obrázku je znázorněn princip periskopu, který umožňuje „vidět za roh“. Periskop je tvořen dvěma rovnoběžnými zrcadly, která jsou umístěna pod úhlem 45° v rozích trubice. Světlo z bodu A se pak dostane do oka pozorovatele vyznačeným způsobem. Kde uvidí pozorovatel bod A? Řešení:Nejprve velmi jednoduchá odpověď: bod A uvidíme v tom směru, odkud přichází paprsky do oka, tedy vpravo od něj. Pro určení přesné polohy pozorovaného bodu je nutné najít (neskutečný) obrazu bodu A. To můžeme udělat pomocí dvou osových souměrností, jak je naznačeno na obrázku 2.36. Pro upřesnění je třeba dodat, že osová souměrnost je zobrazení v rovině. Ve skutečnosti však zobrazení probíhá v prostoru, proto se nejedná o osovou souměrnost, ale souměrnost podle roviny zrcadla. Body se zobrazují na kolmicích k rovině zrcadla ve stejné vzdálenosti. Hezky to ilustruje následující obrázek 2.37. Na osové souměrnosti či souměrnosti podle roviny je zajímavé, že vzor a obraz jsou jen nepřímo shodné. Primitivní skleněné čočky byly známé již ve starém Řecku a Římě. Bylo možné pomocí nich například zapálit oheň, případně se používaly jako „zvětšovací skla“.
K výrobě kvalitních čoček však potřebujeme vhodný druh skla a přesnou techniku jeho broušení. Proto se první brýle objevily až koncem 12. století v severní Itálii a první dalekohledy pak začátkem 17. století v Nizozemí. Čočky používáme především k optickému zobrazování. Zobrazení čočkou je možné díky tomu, že čočka mění směr chodu paprsků přesně určeným způsobem. Světlo se láme na rozhraní čočky a okolního prostředí. Spojná čočka (spojka) láme světlo tak, že mění rovnoběžný svazek paprsků na svazek sbíhavý. Bod, kde se původně rovnoběžné paprsky protínají, nazýváme ohnisko (F). Rozptylná čočka (rozptylka) láme světlo tak, že mění původní rovnoběžný svazek paprsků na svazek rozbíhavý. Bod, ze kterého rozbíhavý svazek zdánlivě vychází, se nazývá ohnisko. Parametrem, který určuje „sílu“ čočky, je její ohnisková délka f. Silnější čočka láme světlo víc a bude mít ohnisko blíže, její ohnisková délka bude kratší. Podle dohody se dále rozlišuje spojka a rozptylka podle znaménka. Spojky mají ohniskovou délku kladnou, rozptylky zápornou. V praxi se síla čočky často popisuje také pomocí optické mohutnosti. Jednotkou optické mohutnosti je m−1, ale v optice je zvykem tuto jednotku nazývat dioptrie (značka D). „Sílu“ čočky tak můžeme popsat dvěma způsoby. Například spojka s ohniskovou délkou 0,5 m má optickou mohutnost 2 D. Optická mohutnost se může jevit jako zbytečná veličina; pro popis síly čočky si vystačíme s ohniskovou délkou.
Je tu však jedna praktická výhoda. Pokud umístíme čočky těsně k sobě, pak se celková optická mohutnost rovná součtu optických mohutností jednotlivých čoček. Pojďme se nyní zaměřit na problém, jak vyrobit čočku, aby měla výše uvedené vlastnosti. Většinou se čočky brousí ze skla, ale mohou být i plastové. Volbou materiálu určíme index lomu. Jaký musí mít čočka tvar? Nejjednodušší možností je kulová čočka ohraničená dvěma kulovými plochami, které jsou charakterizované svými poloměry. Na obrázku 23.41 vidíme tři různé čočky (přesněji jejich 2D provedení) na optické tabuli.
Všimněte si, že čočky na obrázku mají jednu stranu rovnou. Rovinu můžeme chápat jako kulovou plochu o nekonečném poloměru. Vidíme, že uvedený vztah je poměrně komplikovaný, ale dá se pomocí základní aproximace a vhodně zvolené čočky výrazně zjednodušit. Pokud využijeme aproximace tenké čočky, u které lze tloušťku čočky zanedbat (d = 0 m), tak se vynuluje poslední člen v předchozí rovnici. Kulová čočka ovšem neláme světlo zcela přesně. Při zobrazování pak vznikají nejrůznější vady. Pro konstrukci kvalitních optických přístrojů se proto používají čočky složitějšího tvaru, případně také kombinace více čoček a kombinace různých materiálů. 23.42 - Kulová vada čočky je způsobena tím, že ohnisko je pro různé paprsky různě daleko. 23.43 - Barevná vada čočky je způsobena tím, že světlo různých barev se láme pod různými úhly (disperze). Ohnisko je proto pro různé barvy světla různě daleko od čočky. 23.44 - Barevná vada čočky se projeví zejména na okrajích snímku.
V tomto odstavci se seznámíme s jednoduchým postupem, jak můžeme pomocí geometrie konstruovat obrazy předmětů, které vytváří čočky. Pro tento účel budeme používat následující pojmy. Tenká čočka je čočka, jejíž tloušťku je možné zanedbat. Ohnisko spojky je bod, kde se sbíhají původně rovnoběžné paprsky. Ohnisko rozptylky je bod, ze kterého zdánlivě vycházejí původně rozbíhavé paprsky. Ke konstrukci obrazu stačí použít k získání průsečíku pouze dva význačné paprsky. Většinou chceme sestrojit obraz konkrétního předmětu. K tomu nám stačí vybrat si libovolný bod tohoto předmětu, který neleží na optické ose, a provést jeho zobrazení pomocí význačných paprsků. Je obraz skutečný nebo neskutečný? Je obraz zvětšený nebo zmenšený? Zvětšení určíme snadno pomocí poměru velikostí šipek. Je obraz přímý nebo převrácený? Jsou-li předmět i obraz na stejné straně optické osy a šipky míří stejným směrem, jde o přímý obraz (druhá konstrukce).
Vlastnosti obrazu závisí na druhu čočky, ale také na vzdálenosti předmětu od čočky. Abyste nemuseli dlouho rýsovat, doporučujeme rozpohybovat si zobrazení pomocí geogebry. V případě rozptylky je situace mnohem jednodušší. Už víme, jak najít obraz geometrickou konstrukcí a jaké může mít vlastnosti. Existuje ale ještě jeden elegantnější způsob, jak popsat zobrazení, a to výpočtem pomocí zobrazovací rovnice čočky. Ta popisuje souvislost mezi ohniskovou délkou f, vzdáleností předmětu a vzdáleností obrazu a kromě toho můžeme přesně vypočítat také zvětšení čočky Z, a to jako podíl velikosti obrazu y' a velikosti předmětu y. Příklady výpočtů ilustrují, že zobrazovací rovnice je užitečná pro rychlé odhady poloh a velikostí obrazů.
Ke konstrukci obrazu jsou uvedeny dva jednoduché případy: 1) spojka s ohniskovou délkou f a předmět v určené vzdálenosti. 2) rozptylka a její zvláštnosti se vztahují k vytváření obrazů v různých situacích. Následují konkrétní výpočty, kde se ukazuje, že spojka o ohniskové délce 2 cm s předmětem 80 cm od čočky vytváří obraz v 2,05 cm od čočky a zvětšení Z = -a'/a = -2,05/80. Závěr: vznikne skutečný, převrácený, zmenšený obraz ve vzdálenosti 2,05 cm od čočky. Další ukázka: spojka o ohniskové délce 40 mm a předmět 36 mm od čočky dává neskutečný, přímý, zvětšený obraz ve vzdálenosti 360 mm před čočkou. Obraz bude zvětšený devětinásobně.
Kromě čoček můžeme ke zobrazování používat také zrcadla. Kromě rovinného zrcadla se nabízí také zrcadla zakřivená. Spojka se chová podobně jako duté zrcadlo, rozptylka pak jako vypuklé zrcadlo. Podobně jako u čoček, je nejjednodušší možností zrcadlo tvořené částí kulového povrchu. To je charakterizované poloměrem křivosti r. f = r/2. Zrcadlo, které netrpí kulovou vadou, se nazývá parabolické a má tvar rotačního paraboloidu. Navíc u zrcadel není problém s disperzí způsobující barevnou vadu čoček. Proto se zrcadla používají třeba v astronomických dalekohledech. Na druhou stranu má zrcadlo jednu podstatnou nevýhodu. Oba nástroje pro hledání polohy obrazu fungují také pro zrcadla. Při konstrukci pomocí význačných paprsků pouze místo lomených paprsků rýsujeme paprsky odražené. V případě zobrazovací rovnice se pouze prohodí význam znaménka polohy obrazu. Duté zrcadlo se používá v reflektorech k vytváření málo rozbíhavých svazků světla. Najdete je například v dálkových světlech u aut nebo jako osvětlení na koncertech.
V kapitole o zrcadlech se dále rozebírají konkrétní typy zrcadel: rovinné, konkávní a konvexní. Podobně jako u čoček platí, že zrcadla mohou vytvářet skutečné i neskutečné obrazy a jejich zvětšení se odvíjí od polohy předmětu a vlastností zrcadla. Zrcadlová rovnice a vzorce zvětšení slouží k určení polohy a velikosti obrazů, což je klíčové pro návrh optických systémů. Zrcadla jsou využívána ve vědeckých nástrojích, jako jsou dalekohledy a lasery, a nacházejí uplatnění i v běžných zařízeních jako zrcátka v autech a koupelnách. Optická zrcadla mohou mít plochý i zakřivený povrch; každý tvar mění způsoby odrazu a vytváření obrazů. Zatímco rovinná zrcadla vytvářejí virtuální obraz stejné velikosti, konkávní zrcadla mohou vytvářet skutečné i virtuální obrazy, a konvexní zrcadla vždy zobrazují virtuální obrazy, menší a za zrcadlem. Eliptická zrcadla a zrcadla ve tvaru D mají specifické užití v laserových systémech a optických instalacích.
Specializovaná zrcadla zahrnují dielektrická, kovová a dichroická zrcadla, která se liší povrchovými vrstvy a materiály. Dielektrická zrcadla mají mnoho tenkých vrstev a mohou odrážet více než 99 % světla v určitých vlnových délkách a úhlech; kovová zrcadla využívají stříbrné, hliníkové či zlaté povlaky. Zlatá zrcadla dobře odrážejí v infračerveném pásmu, širokopásmová dielektrická zrcadla zase poskytují vysokou odrazivost v konkrétních barvách. Laserová zrcadla HR a YAG jsou navržena pro specifické laserové barvy a vysoké výkony. Nepolarizační rozdělovače paprsků rozdělují světlo na dva paprsky bez změny polarizace. Pravoúhlé retroreflektory vrací světlo zpět k zdroji a používají se v kontrolních a měřicích systémech. Výběr povlaku a materiálu určuje odrazivost, odolnost a spektrum použití.
V praxi znamenají tyto volby, že optická zrcadla mohou pomáhat dalekohledům shromažďovat světlo z vesmíru, zaostřovat ho do ostrého obrazu a přizpůsobovat vlnové délky pro konkrétní zařízení. Vesmírný dalekohled Jamese Webba má velké zrcadlo vyrobené ze speciálních látek pro zachycování vzdálených galaxií. Laserové systémy používají zrcadla k pohybu paprsků a zobrazování, zatímco biomedicínská zařízení, jako je optická koherentní tomografie, využívají zrcadla pro ostré oční obrazy. Zrcadla ve spektrometrech a senzorech pomáhají studovat vzduch a vodu, odrážející světlo od ultrafialového po infračervené.
V každodenním životě jsou zrcadla všude kolem nás. Koupelnová zrcadla zobrazují virtuální obrazy, které mohou být užitečné pro sebehodnocení. Bezpečnostní zrcátka v garážích a vypouklá zrcátka na autech zvyšují bezpečnost a rozšiřují zorné pole. Obchody a sklady používají zrcadla pro dohled nad prostory, zatímco dopravní zrcátka na křižovatkách pomáhají řidičům vyhnout se nehodám. Zrcadla se také používají v bridlech, endoskopech a dalších lékařských přístrojích. Větší a jasnější obraz vzniká díky specifickým povrchovým úpravám a materiálům, které zrcadlo chrání a zvyšují jeho odrazivost.
Paradoxně bývá žádaný i obraz „neskutečný“ pro rovinné zrcadlo; jde o to, že oko nevidí skutečný chod paprsků, ale vyvozovanou polohu obrazu. Z dalších praktických ukázek si lze představit periskop s dvěma rovnoběžnými zrcadly pod 45°, které umožní vidět kolem rohu. Z těchto koncepčních základu lze pochopit, jak zrcadla a čočky spolupracují v optických soustavách: od běžných zrcadel v domácnostech po složité systémy v astronomii a průmyslu. V optice je tak možné měřit odražené paprsky a zobrazovat je pomocí zobrazovacích rovnic a vzorců zvětšení, které pomáhají navrhovat a ladit optické nástroje.
Praktické příklady a základní výpočty
- Vysvětlete vytvoření obrazu pomocí kulového (sférického) zrcadla. Řešení: Předmět vysoký 7 cm stojí kolmo na optickou osu ve vzdálenosti 6 cm od vrcholu dutého zrcadla s poloměrem 4 cm. Určete polohu a vlastnosti obrazu. Řešení: Obráz je zmenšený, převrácený, skutečný a vysoký 3,5 cm. Leží 3 cm od vrcholu zrcadla.
- Další cvičení: Předmět vysoký 6,5 cm stojí kolmo na optickou osu dutého zrcadla ve vzdálenosti 1 cm od vrcholu zrcadla. Poloměr zrcadla je 4 cm. Určete polohu a vlastnosti obrazu. Řešení: Obraz je zvětšený, vzpřímený, zdánlivý, vysoký 13 cm. Vznikne 2 cm za zrcadlem.
- Vypočítejte ohniskovou vzdálenost pro duté zrcadlo a určete polohu obrazu podle zobrazovací rovnice guľového zrcadla. Řešení: 1/a + 1/a′ = 1/f = 2/r. Pro zadané parametry lze dopočítat a′ a zvětšení.
- Podívejme se na praktickou ukázku zrcadlové rovnice pro rovinné a kulové zrcadlo, včetně kontextu nárůstu či snížení obrazu a jeho polohy vzhledem k ohnisku.
- Pro vědecké a technické aplikace jsou vyhledávány povlaky a materiály s vysokou odrazivostí a stabilitou pro dané vlnové délky. Výběr materiálu a nátěrů tedy určuje, jak jasný a trvanlivý obraz zrcadlo poskytne v konkrétním systému.
- Konečná poznámka: zrcadla se širokým záběrem se používají v bezpečnostních zrcátkách, autokozmetických zrcátkách a v průmyslových aplikacích, aby poskytla široký záběr a minimalizovala slepé úhly.
Tagy obrázků a videa:
