V následujícím textu se podrobně zabýváme tím, jak duté zrcadlo vytváří obraz, který je na stínítku 2× zmenšený. Budeme vycházet z popisů a poznámek o optickém obrazu, paraxiálním prostoru, zákonu odrazu a z obecných vztahů pro dutá zrcadla.
Libovolný paprsek dopadající na odraznou plochu dutého zrcadla se odráží podle zákona odrazu. Paprsek procházející středem křivosti má po odrazu opačný směr než před dopadem na zrcadlo, tj. odráží se zpět do středu křivosti C. Paprsek rovnoběžný s optickou osou zrcadla po odrazu míní svůj směr a odráží se do ohniska F. Jedná se o paprsek z velmi vzdáleného zdroje světla.
Pro geometrickou konstrukci obrazu stačí použít dva význačné paprsky. Z koncového bodu šipky, která znázorňuje předmět, vedeme dva význačné paprsky. Umístíme-li předmět mezi ohnisko a vrchol dutého zrcadla, odrazí se zrcadlem rozbíhavý svazek a jeho zpětné prodloužení určují průsečík za zrcadlem, kde vzniká obraz. Důležité je, že pro danou předmětovou vzdálenost a dané zrcadlo obrazovou vzdálenost určujeme jednoznačně. Veličiny a, a´, f, r mají v prostoru před zrcadlem kladné hodnoty, za zrcadlem záporné. Ohnisková vzdálenost f dutého zrcadla a poloměr křivosti r jsou kladné, pokud střed křivosti i ohnisko leží na optické ose před zrcadlem.
V tabulce a dle konvence se uvádí, že předmět a obraz mohou mít určité znaménkové hodnoty. Zobrazení různých poloh mimoosového předmětu AB dutým kulovým zrcadlem lze vyvodit z jednoduché zobrazovací rovnice. V jednom z uvedených příkladů je objekt před dutým zrcadlem umístěn mezi ohnisko a vrchol; vznikne obraz, který je zmenšený a skutečný, leč vzhledem k dutému zrcadlu bývá obraz často vzájemně zamýšlený.
U dutého zrcadla platí: duté zrcadlo může vytvářet skutečný obraz (na stínítku) i ne skutečný. Zmenšený obraz duté zrcadlo musí být převrácený, a proto bude číselná hodnota příčného zvětšení Z záporná. Protože skutečný obraz se vytváří v prostoru před zrcadlem, číselná hodnota obrazové vzdálenosti a´ bude kladná. V některých částech textu se doplňují rozměrové jednotky - pro jednodušší výpočet lze dosazovat v centimetrech, protože v rovnici pro příčné zvětšení ani v zobrazovací rovnici nepoužíváme jiné fyzikální veličiny.
Pro sestrojení obrazu z dutého zrcadla platí následující: pokud je předmět ve větší vzdálenosti než ohnisko, vzniká obraz za zrcadlem (zdánlivý či skutečný podle kontextu) a pro některé konfigurace lze dosáhnout zmenšeného nebo zvětšeného obrazu. Paraxiální paprsky - paprsky v blízkosti optické osy - určují, že bod zobrazuje jako bod, přímka jako přímka a rovina jako rovina. Ohnisková vzdálenost f a poloměr křivosti r určují základní vztahy pro duté zrcadlo.
Praktické konstrukce a příklady z činností s dutým zrcadlem
V tabulkách se řeší úlohy s výpočtem polohy a vlastností obrazu pro různé vzdálenosti. Příklady zahrnují: předmět vysoký 7 cm ve vzdálenosti 6 cm od vrcholu dutého zrcadla se poloměrem 4 cm, kde obraz je zmenšený, převrácený, skutečný a vysoký 3,5 cm a leží 3 cm od vrcholu zrcadla. Dále: předmět vysoký 6,5 cm ve vzdálenosti 1 cm od vrcholu dutého zrcadla, poloměr 4 cm, obraz je zvětšený, vzpřímený, zdánlivý, výška 13 cm, vznikne 2 cm za zrcadlem.
V dalších úlohách se řeší vztahy mezi vzdálenostmi, zvětšením a poloměrem. Například: duté zrcadlo s poloměrem křivosti 1 m vytváří zdánlivý obraz 3 m za zrcadlem; v nabídnutých úlohách se řeší, jaká je poloha předmětu a jaké je zvětšení obrazu pro zadané ohniskové vzdálenosti.
Řeší se také konkrétní situace: předmět ve vzdálenosti 60 cm od vrcholu dutého zrcadla a obraz zvětšený 1,5krát, nebo určení ohniskové vzdálenosti zrcadla pro dané vzdálenosti a dané zvětšení. Dále se zkoumají situace, kdy se předmět nachází na různých místech a obrázkové vlastnosti odpovídají záporným či kladným hodnotám pro dané konvence.
V textu se uvádí i poznámky o tom, že pro vypuklá zrcadla je f ≤ 0 a a ≥ 0; pro dutá zrcadla bývá ohnisková vzdálenost kladná před zrcadlem a záporná za zrcadlem. Zobrazení rovinným (plochým) zrcadlem a jeho paralelní stadie má zvláštní charakter: obraz bývá zdánlivý, vzpřímený a stejně velký jako předmět.
Paraxiální prostor a kvalita obrazu
Paraxiální prostor je prostor v blízkosti optické osy, ve kterém se zobrazování uskutečňuje paraxiálními paprsky. Zde se obraz kvalitou vyrovnává a vady se nevyskytují. Pokud dopadají paprsky mimo paraxiální prostor, mohou vznikat vady - kulová vada, která způsobuje neostrý obraz. V praxi se pro zásadní zvětšení a ostrost doporučují parabolické zrcadla.
Je důležité si uvědomit, že duté zrcadlo může poskytovat zdánlivé (infinity) či skutečné obrazy v závislosti na poloze předmětu vzhledem k ohnisku a k vrcholu zrcadla. Poznámky uvádějí, že poměr výšky obrazua výšky předmětu Y se nazývá příčné zvětšení Z. Z hlediska konvence o y a a, resp. minus ve vzorcích určuje nerovnost Z < 0 pro převrácený obraz a Z > 0 pro vzpřímený obraz.
Různé typy a využití dutých zrcadel
Na rovinné zrcadlo dopadá světelný paprsek a posun stop na stínítku po natočení zrcadla kolem 1 stupně se posune o malé množství. Dutá zrcadla se však používají i v dalekohledech, osvětlovací technice a projekčních zařízeních, a k získání sluneční energie používají obrovská dutá zrcadla. Duté parabolické zrcadla jsou součástí některých osvětlicích zařízení.
U zobrazení zrcadly platí, že obraz rovinného zrcadla je vždy zdánlivý, vzpřímený a stejně velký jako předmět a symetrický podle roviny zrcadla. Pro dutá zrcadla platí, že při dobré volbě poloh předmětu lze získat obraz velikostí, polohou a charakteristikou odpovídající výše uvedeným vzorcům.
Konkávní a konvexní zrcadla, diagram paprsků - rovnice / vzorce a praktické úlohy
Na závěr lze poznamenat, že tabulky a úlohy často vyžadují výpočet polohy a vlastností obrazu podle zadané vzdálenosti předmětu, poloměru zrcadla a ohniskové vzdálenosti. Některé úlohy vyžadují, aby obraz byl vzpřímený, zmenšený či zvětšený a zda se jedná o obraz skutečný či zdánlivý.
- Vysvětlete vytvoření obrazu pomocí kulového (sférického) zrcadla.
- Předmět vysoký 7 cm stojí kolmo na optickou osu ve vzdálenosti 6 cm od vrcholu dutého zrcadla s poloměrem 4 cm. Určete polohu a vlastnosti obrazu. Rozbor: Obraz je zmenšený, převrácený, skutečný a vysoký 3,5 cm. Leží 3 cm od vrcholu zrcadla.
- Předmět vysoký 6,5 cm stojí kolmo na optickou osu dutého zrcadla ve vzdálenosti 1 cm od vrcholu zrcadla. Poloměr zrcadla je 4 cm. Určete polohu a vlastnosti obrazu. Rozbor: Obraz je zvětšený, vzpřímený, zdánlivý, vysoký 13 cm. Vznikne 2 cm za zrcadlem.
- Další problémy a jejich řešení týkající se dutých zrcadel a jejich ohniskové vzdálenosti.
Pro výpočetní řešení úloh se uvádí, že vztahy mezi vzdálenostmi předmětu a obrazu a ohniskem jsou klíčové. Přímočaré ukázky ukazují, že pokud je obraz na stínítku, jedná se o skutečný obraz a obrazová vzdálenost a´ je kladná. Pokud je obraz za zrcadlem, bývá obraz zdánlivý a vzdálenost slouží k odhadu konfiguračních vlastností.